متولد 1296 خورشیدی در تهران، از هفت سالگی با کمک پدر، حسین سنجری، نوازنده نامدار تار و شاگرد درویش خان و علینقی وزیری، با مقدمات موسیقی آشنا شد و مدتی نیز در مدرسه موسیقی وزیری به فراگیری تار و خواندن سرودهای کودکانه که وزیری تصنیف می کرد، پرداخت. بعدها با وجود آشنایی مقدماتی با تار، ویولن را برگزید و نزد علینق وزیری، روح الله خالقی و ابولحسن صبا آموختن آن را آغاز کرد. از نوزده سالگی برای نواختن متدهای کلاسیک تحت تعلیم سرژ خوتیسف قرار گرفت و در سال 1317 وارد هنرستان عالی موسیقی شد. سه سال بعد دیپلم هنرستان را در رشته ویولن دریافت نمود و در 1328 با اجرای کنسرتو ویولن بتهوون با ارکستر سمفونیک تهران به رهبری پرویز محمود، به اخذ لیسانس درجه یک ویولن نائل آمد. مدتی هم از تعلیمات پرویز محمود در زمینۀ رهبری ارکستر بهره برد. از همان دوران به رهبری ارکستر هنرجویان هنرستان عالی موسیقی پرداخت و پس از مهاجرت رییس وقت هنرستان (روبیک گریگوریان) به آمریکا، چندین ماه مدیریت هنرستان را به عهده گرفت. رهبری ارکستر سمفونیک تهران در سال 1334 به حشمت سنجری محول گشت. وی یک سال بعد به آمریکا رفت و برنامه هایی اجرا نمود و پس از بازگشت، فعالیت خود را با ارکستر سمفونیک از سر گرفت. در سال 1336 با مساعدت اداره کل هنرهای زیبای کشور به منظور تحصیل آکادمیک رهبری ارکستر به اتریش عزیمت نمود و در آکادمی موزیک وین نزد هانس اسواروسکی (H. Swarosky) و در هلند و ایتالیا نیز نزد فرانکو فرارا (F. Ferara) تعلیم دید.
در سال 1339 به ایران بازگشت و رهبری ارکستر سمفونیک تهران را که موقتاً به هایمو تویبر (Haymo Tauber) موسیقی دان اتریشی، واگذار شده بود، در دست گرفت. سنجری تا سال 1351 رهبر ثابت این ارکستر بود و پس از آن به عنوان سرپرست هنری تالار رودکی و مشاور وزیر فعالیت خود را ادامه داد و به طور پراکنده چند اپرا و باله را رهبری کرد. همچنین برنامه هایی با ارکستر مجلسی رادیو و تلویزیون ملی ایران و ... در سالهای پیش از انقلاب نیز در بلغارستان، روسیه، یوگسلاوی، ارمنستان، ترکیه، آذربایجان، رومانی و ... ارکسترهایی را رهبری نمود. وی پس از بازنشستگی در سال 58 مجدداً به کار دعوت شد. به مدت ده سال رهبری ارکستر سمفونیک تهران را بر عهده داشت و در سال 1368 با کنسرتی به مناسبت چهلمین روز درگذشت مرتضی حنانه، به علت مشکلات فراوان و ناراحتی های جسمانی از رهبری ارکستر کناره گرفت. 
حشمت سنجری در کنار رهبر ارکستر، ویولن نوازان چیره دستی را نیز پرورش داد و همچنین معدود آثاری ملهم از موسیقی ملی و محلی ایران پدید آورد. او شیوۀ آهنگسازی خود را تا حدی متأثر از شیوۀ آهنگسازان بزرگ آذربایجان و ارمنستان می دانست و اظهار می داشت «موسیقی ایرانی آذری مشترکات بسیاری دارند با این تفاوت که آنها روی موسیقی خود بسیار کار کرده اند و متأسفانه ما ایرانی ها خیلی کم..... اسکلت بندی و چهارچوب آهنگ های من کمی بر اساس موسیقی ایرانی بوده و در حقیقت آنچه ملودی های مرا به هم مربوط می سازد و به آن هویت ایرانی می بخشد خود به واقع ایرانی نیست. بنابراین هر ملتی می تواند با بهره جویی از قوانین اصولی و مدون موسیقی جهانی، نغمه های ملی و محلی خود را تبدیل به دستاوردی دلپذیر و قابل عرضه به همۀ دنیا کند. در 29 دی ماه 1372 فرهنگسرای بهمن در تهران طی مراسمی به تجلیل از سنجری و خدماتش به موسیقی کشور به ویژه ارکستر سمفونیک تهران پرداخت و یکی از سالن های خود را به نام او نامگذاری کرد. سنجری در آن شب علیرغم بیماری سختی که داشت به روی صحنه رفت، ارکستر فرهنگسرا را رهبری کرد و از فعالیت های گذشتۀ خود سخن گفت. حشمت سنجری در 14 دی ماه 1373 چشم از جهان فرو بست. آثار: - تابلوهای ایرانی (سوییت در پنج قسمت: افق بیکران، رقص دایره، دو حالت، رقص مضراب ها، سرانجام) - نیایش یزدان (روی سروده های فردوسی برای آواز گروهی و ارکستر) - سرود دانشگاه (روی سرودۀ حسین گل گلاب)، سرود قهرمانان آسیا و ... (منبع: موسیقی دانان ایرانی، تألیف: پژمان اکبرزاده، انتشارات نوید شیراز، 1380).